以下のように定義される数をネイピア数と言う。ネイピア数を底とする対数を自然対数 natural logarithm といい、 ln という記号で書く。
ヤコブ・ベルヌーイは、利子の複利計算との関連を指摘した。なるほど、複利計算の式そのものといえる。
\[e=\lim_{n\rightarrow \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}\]
\[(1+年利)^{年数}=\frac{元利合計}{元金}\]
ここで、対数の底を 1+年利 とすると、
\[年数=\log_{1+年利}\frac{元利合計}{元金}\]
金利が十分に小さいときは \[\log(1+r)\]
と r をだいたい同じと考えることが出来る。
そうすると、複利の年利が r × 100% のとき元利合計が元金の2倍になる年数は次のようになる。
\[年数=\frac{\log 2}{\log (1+r)}\] \[年数\simeq \frac{100 \log 2}{r(パーセント表示)}\] \[\simeq \frac{100 \times 0.693}{r(パーセント表示)}\] \[\simeq \frac{72}{r(パーセント表示)}\]