[[統計学]] **ポアソン分布 ある試行を１回行って、ある事象Ａが発生する確率をｐ、ある事象Ａが発生しない確率をｑとする。 ~この試行をｎ回行って、ｘ回だけ事象Ａが発生する確率は次のようになる(ベルヌーイ分布)。 ~この試行をｎ回行って、ｘ回だけ事象Ａが発生する確率は次のようになる([[ベルヌーイ分布>二項分布]])。 ~ \[P_{B}(x) = nCx p^{x}q^{n-x} (x=0,1,2,...,n)\] CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e1.gif ~このとき、モーメント母関数は次のようになる。 ~ \[M_{B}(\theta)=E[e^{\theta X}]=\sum_{x=0}^n e^{\theta X}・P_{B}(x)=(pe^{\theta}+q)^n\] CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e2.gif ~この期待値はモーメント母関数の微分係数を用いて、 ~ \[\mu = E_{B}[X] = M_{B}'(0) = np\] CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e3.gif ~この時、期待値 μ＝ｎｐ を一定にして、ｎ→∞、ｐ→０に近づけていくとポアソン分布と呼ばれる分布になる。 ~ ***ベルヌーイ分布からポアソン分布の導出 \[P_{B}(x) = nCx p{x}q^{n - x}=\frac{n!}{x!(n - x)!}p^{x}・(1 - p)^{n-x}\] CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e4.gif &br; \[= \frac{n(n - 1)(n - 2)・・・(n - x + 1)}{x!}・(\frac{\mu}{n})^{x}・(1 - \frac{\mu}{n})^{n - x}\] &br; \[P_{B}(x) = \frac{n^{x}・１・(１−\frac{１}{n})・(１−\frac{２}{n})・・・(１−\frac{x−１}{n}))}{x!}・\frac{\mu^{x}}{n^{x}}・(１−\frac{\mu}{n})^{n}・(１−\frac{\mu}{n})^{−x}\] &br; \[= (1-\frac{１}{n})・(1-\frac{２}{n})・・・・(1-\frac{x−１}{n})・\frac{\mu^{x}}{x!}\{(１+\frac{１}{−\frac{n}{\mu}})^{−\frac{n}{\mu}}\}^{−\mu}・(１−\frac{\mu}{n})^{−x} \] CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e5.gif ~ここで、 \[−\frac{n}{\mu}=\theta\] ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e5_2.gif ~とおくと、ｎ→∞のとき、θ→−∞となるので、 \[\lim_{\theta\to ±∞} {(１+\frac{1}{\theta})^\theta} = e\] ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e6.gif ~となることから、 \[\lim_{n\to ∞} {P_{n}(x)} = (１−０)・(１−０)・・・\frac{\mu^{x}}{x!}・e^{−\mu}・１\] ~\[\lim_{n\to ∞} {P_{n}(x)} = \frac{\mu^{x}}{x!}・e^{−\mu}\] ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e7.gif ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/e8.gif
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