[[統計学]] **正規分布(Normal Distribution) **正規分布 Normal Distribution／Gaussian Distribution n>>0のとき、x>>0 とする。&br; このとき、[[ベルヌーイ分布]]の確率関数 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0001.jpg ~の自然対数をとったものを g(x) とおく、q=1-p であることに注意すると、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0002.jpg ~ここで、x>>0 (x は十分大きな自然数)なので、x が １だけ増加しても ln x! はわずかしか増加しない。 ~つまり、Δx=1 における平均変化率を ln x! の微分係数と見なすことが出来る。 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0003.jpg ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0004.jpg ~以上から、g(x) の x における微分係数は ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0005.jpg ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0006.jpg ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0007.jpg ~ここで、x＝０ のとき、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0008.jpg ~g(x) をさらに微分して、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0009.jpg ~xにμを代入して ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0010.jpg ~http://www.digistats.net/image/2009/08/math0011.jpg より、g(x) を x=μ の近くでテイラー展開すると ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0012.jpg ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0013.jpg ~ここで、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0014.jpg ~より、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0015.jpg ~確率密度であるためには、次の十分条件を満たす必要がある。 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0016.jpg ~http://www.digistats.net/image/2009/08/math0017.jpg ~以上より、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0018.jpg ~従って、正規分布の確率密度関数は、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0019.jpg
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