統計学

正規分布　Normal Distribution／Gaussian Distribution

n>>0のとき、x>>0 とする。
このとき、ベルヌーイ分布の確率関数

の自然対数をとったものを g(x) とおく、q=1-p であることに注意すると、

ここで、x>>0 (x は十分大きな自然数)なので、x が １だけ増加しても ln x! はわずかしか増加しない。

つまり、Δx=1 における平均変化率を ln x! の微分係数と見なすことが出来る。

以上から、g(x) の　x における微分係数は

ここで、x＝０ のとき、

g(x) をさらに微分して、

xにμを代入して

より、g(x) を x=μ の近くでテイラー展開すると

ここで、

より、

確率密度であるためには、次の十分条件を満たす必要がある。

以上より、

従って、正規分布の確率密度関数は、