**ケーリー・ハミルトンの法則
\[Ａ＝\pmatrix{a&b\cr c&d} \]
\[Ｅ＝\pmatrix{1&0\cr 0&1} \]
\[Ｏ＝\pmatrix{0&0\cr 0&0} \]
のとき、
\[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad−bc)Ｅ＝Ｏ\]
が成り立つ。
***証明
\[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad)Ｅ＝(Ａ−aＥ)(Ａ−dＥ)\]
この式を展開すると、
\[Ａ＝\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-a\pmatrix{1&0\cr 0&1}\Big\}\;\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-d\pmatrix{1&0\cr 0&1}\Big\}\;\]
\[　＝\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-\pmatrix{a&0\cr 0&a}\Big\}\;\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-\pmatrix{d&0\cr 0&d}\Big\}\;\]
\[　＝\pmatrix{0&b\cr c&d-a}\pmatrix{a-d&b\cr c&0}\]
\[　＝\pmatrix{0×(a-d)+bc&0×b+b×0\cr c×(a-d)+(d-a)×c&c×b+(d-a)×0}\]
\[　＝\pmatrix{bc&0\cr 0&bc}\]
すなわち、
\[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad)Ｅ＝(Ａ−aＥ)(Ａ−dＥ)＝bcＥ\]
よって、
\[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad−bc)Ｅ＝Ｏ\]
が成り立つ。
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