ケーリー・ハミルトンの法則

\[Ａ＝\pmatrix{a&b\cr c&d} \] \[Ｅ＝\pmatrix{1&0\cr 0&1} \] \[Ｏ＝\pmatrix{0&0\cr 0&0} \] のとき、 \[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad−bc)Ｅ＝Ｏ\] が成り立つ。

証明

\[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad)Ｅ＝(Ａ−aＥ)(Ａ−dＥ)\] この式を展開すると、 \[Ａ＝\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-a\pmatrix{1&0\cr 0&1}\Big\}\;\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-d\pmatrix{1&0\cr 0&1}\Big\}\;\] \[　＝\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-\pmatrix{a&0\cr 0&a}\Big\}\;\Big\{\;\pmatrix{a&b\cr c&d}-\pmatrix{d&0\cr 0&d}\Big\}\;\] \[　＝\pmatrix{0&b\cr c&d-a}\pmatrix{a-d&b\cr c&0}\] \[　＝\pmatrix{0×(a-d)+bc&0×b+b×0\cr c×(a-d)+(d-a)×c&c×b+(d-a)×0}\] \[　＝\pmatrix{bc&0\cr 0&bc}\] すなわち、 \[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad)Ｅ＝(Ａ−aＥ)(Ａ−dＥ)＝bcＥ\] よって、 \[Ａ^{2}−(a＋d)Ａ＋(ad−bc)Ｅ＝Ｏ\] が成り立つ。