正弦定理(the law of sines)は三角形の2つの角と一辺の長さが分っている時に、残りの二辺の長さを求める時に用いられる(三角法[technique in triangulation])。
三角形 ABC の外接円の半径を R とおく。ここで、BC=a、 ∠A=Aとする。
線分BDが外接円の直径となるような点Dを外接円上にとると円周角の定理より、
∠A=∠B
となる。また 線分BDは外接円の直径であることから、
BD=2R
∠BCD=π/2 よって、
sin D=a/2R
ここで、∠D=∠Aより、
sin A=a/2R すなわち、a/sin D=2R
BC = a = 2Rなので、
sin A=a/2R は、sin A=1 となる。
以上より、当然に、a/sin D=2R
線分BD が外接円の直径となるように点Dをとる。すると、円に内接する四角形の性質から、
∠D=π−∠A ⇒ sin A=sin D
また、BD = 2R より、
sin A=a/2R ⇒ a/sin D=2R