数理工学・経営システム工学

円周角の定理 Inscribed angle Theorem

• 円周角 円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角を円周角(inscribed angle)という。
• 円周角 C (rad) は 0<C<π を満たす。

円周角の定理

円周上にとる点の位置に関係なく、円周角(inscribed angle)の大きさ C は対応する円弧を含む扇形の中心角の大きさ α のみに依存しする。

これを、円周角の定理(inscribed angle theorem)という。

証明

Ｏを円の中心とする。円周上に２点、点Ａと点Ｖを置く。ＶからＯに線を引き、その線をＯを通って円に達するまで延長する。その線分が円と接する点Ｂは点Ｖの丁度反対側(diametrically opposite)になる。

∠ＢＯＡをθとします。

線分ＯＶと線分ＯＡはともにＯを中心とする円の半径(radii)であるので、その長さは等しくなる。

故に三角形ＶＯＡは二等辺三角形(isosceles triangle)となる。そして、∠ＢＶＡと∠ＶＡＯは等しくなる。ここで、それぞれの角度を ψとする。

∠ＢＯＡと∠ＡＯＶは補角(supplementary)となり、その和は１８０°となる。故に、中心点Ｏを通る線分ＶＢは直線(straight line)となる。

以上より∠ＡＯＶ＝１８０°−θとなる。

また、三角形の角の和は１８０°となることから、∠ＶＯＡは

すなわち、