Operations Research

正規分布(Normal Distribution)

n>>0のとき、x>>0 とする。
このとき、ベルヌーイ分布の確率関数

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の自然対数をとったものを g(x) とおく、q=1-p であることに注意すると、

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ここで、x>>0 (x は十分大きな自然数)なので、x が １だけ増加しても ln x! はわずかしか増加しない。

つまり、Δx=1 における平均変化率を ln x! の微分係数と見なすことが出来る。

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以上から、g(x) の　x における微分係数は

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ここで、x＝０ のとき、

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g(x) をさらに微分して、

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xにμを代入して

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http://www.digistats.net/image/2009/08/math0011.jpg より、g(x) を x=μ の近くでテイラー展開すると

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ここで、

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より、

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確率密度であるためには、次の十分条件を満たす必要がある。

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以上より、

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従って、正規分布の確率密度関数は、

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