[[数理工学・経営工学>数理工学]]>関数>複素関数 **オイラーの公式 \[e^{ix} = cos x + sin x \] ***証明の方針 -\(e^{ix}\) は &br; \[e^{ix} = A cos x + B sin x \] というように cos x と sin x の1次結合として表現出来るか。 -A=1 、 B=i であるか。 ***証明 \(y_{1},y_{2},y_{3}\) が1次従属である時は、 \[ c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}=0 \] において、\( c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 \)以外の\(c_{1},c_{2},c_{3}\)の組み合わせが存在する。&br; 逆に1次独立である時は、\[ c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}=0 \] において、\( c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 \)以外の\(c_{1},c_{2},c_{3}\)の組み合わせは存在しない。&br; ここで、まず、 \[ c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}=0 \] を1回微分する。 \[ c_{1}y'_{1}+c_{2}y'_{2}+c_{3}y'_{3}=0 \] さらに、もう一度微分する。 \[ c_{1}y''_{1}+c_{2}y''_{2}+c_{3}y''_{3}=0 \] 以上の3つの式を行列の形式でまとめる。 \[\matrix{y_{1}&y_{2}&y_{3}\cr y'_{1}&y'_{2}&y'_{3}\cr y''_{1}&y''_{2}&y''_{3}}\matrix{c_{1}\cr c_{2}\cr c_{3}}=\matrix{0\cr 0\cr 0}\] この3×3行列(W)をロンスキー行列という。&br; このロンスキー行列に逆行列が存在するならば、 \[\matrix{c_{1}\cr c_{2}\cr c_{3}}=\matrix{y_{1}&y_{2}&y_{3}\cr y'_{1}&y'_{2}&y'_{3}\cr y''_{1}&y''_{2}&y''_{3}}^{-1}\matrix{0\cr 0\cr 0}\] となり、\(c_{1}=c_{2}=c_{3}=0\) となり1次独立ということになる。&br; ここで、|W|=0 ならば W の逆行列は存在せず、1次従属ということになる。 ~これらの結果を利用して、\(cos x , sin x , e^{ix} \) のロンスキー行列を求める。 \[\matrix{cos x&sin x&e^{ix}\cr -sin x&cos x&i e^{ix}\cr -cos x&-sin x&-e^{ix}}\] このロンスキー行列の行列式は \[\left|\matrix{cos x&sin x&e^{ix}\cr -sin x&cos x&i e^{ix}\cr -cos x&-sin x&-e^{ix}}\right|\] となる。ここで、3行は1行にマイナスを乗じたものとなっている。従って、ロンスキー行列の行列式の値は0となる。&br; つまり、\(e^{ix} , cos x , sin x\) は1次従属ということになり、 \[e^{ix}=A cos x + B sin x\] と表すことが出来るということになる。 ~ここで、上式に x=0 を代入すると、 \[e^{0} = A cos 0 + B sin 0\] \[1 = A × 1 + B × 0\] つまり、A=1ということになる。&br; 続いて、 \[e^{ix}=A cos x + B sin x\] を微分すると、 \[(e^{ix})'=(A cos x + B sin x)'\] \[i e^{ix}=-A sin x + B cos x\] 上式に、 x=0 を代入すると、 \[i e^{0}=-A sin 0 + B cos 0\] \[i×1=-A × 0 + B × 1\] つまり、B=i ということになる。 ~つまり、 \[e^{ix}= cos x + i sin x\] となる。