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\[e^{ix} = cos x + sin x \]
\[e^{ix} = A cos x + B sin x \]
というように cos x と sin x の１次結合として表現出来るか。\(y_{1},y_{2},y_{3}\) が１次従属である時は、
\[ c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}=0 \]
において、\( c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 \)以外の\(c_{1},c_{2},c_{3}\)の組み合わせが存在する。
逆に１次独立である時は、\[ c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}=0 \]
において、\( c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 \)以外の\(c_{1},c_{2},c_{3}\)の組み合わせは存在しない。
ここで、まず、
\[ c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}=0 \]
を１回微分する。
\[ c_{1}y'_{1}+c_{2}y'_{2}+c_{3}y'_{3}=0 \]
さらに、もう一度微分する。
\[ c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y''_{3}=0 \]
以上の３つの式を行列の形式でまとめる。
\[\matrix{y_{1}&y_{2}&y_{3}\cr y'_{1}&y'_{2}&y'_{3}\cr y_{1}&y_{2}&y''_{3}}\matrix{c_{1}\cr c_{2}\cr c_{3}}=\matrix{0\cr 0\cr 0}\]
この３×３行列(W)をロンスキー行列という。
このロンスキー行列に逆行列が存在するならば、
\[\matrix{c_{1}\cr c_{2}\cr c_{3}}=\matrix{y_{1}&y_{2}&y_{3}\cr y'_{1}&y'_{2}&y'_{3}\cr y_{1}&y_{2}&y''_{3}}^{-1}\matrix{0\cr 0\cr 0}\]
となり、\(c_{1}=c_{2}=c_{3}=0\) となり１次独立ということになる。
ここで、|W|=0 ならば W の逆行列は存在せず、１次従属ということになる。
これらの結果を利用して、\(cos x , sin x , e^{ix} \) のロンスキー行列を求める。
\[\matrix{cos x&sin x&e^{ix}\cr -sin x&cos x&i e^{ix}\cr -cos x&-sin x&-e^{ix}}\]
このロンスキー行列の行列式は
\[\left|\matrix{cos x&sin x&e^{ix}\cr -sin x&cos x&i e^{ix}\cr -cos x&-sin x&-e^{ix}}\right|\]
となる。ここで、３行は１行にマイナスを乗じたものとなっている。従って、ロンスキー行列の行列式の値は０となる。
つまり、\(e^{ix} , cos x , sin x\) は１次従属ということになり、
\[e^{ix}=A cos x + B sin x\]
と表すことが出来るということになる。
ここで、上式に x=0 を代入すると、
\[e^{0} = A cos 0 + B sin 0\]
\[1 = A × 1 + B × 0\]
つまり、Ａ＝１ということになる。
続いて、
\[e^{ix}=A cos x + B sin x\]
を微分すると、
\[(e^{ix})'=(A cos x + B sin x)'\]
\[i e^{ix}=-A sin x + B cos x\]
上式に、 x=0 を代入すると、
\[i e^{0}=-A sin 0 + B cos 0\]
\[i×1=-A × 0 + B × 1\]
つまり、Ｂ＝i ということになる。
つまり、 \[e^{ix}= cos x + i sin x\] となる。
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