[[数理工学>統計学]] **正弦定理 the law of sines -外接円(circumcircle)の半径と、三角形との間に成り立つ定理。 ***定理の内容 CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/ensh6.gif ~ CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/ensh7.gif ~正弦定理(the law of sines)は三角形の２つの角と一辺の長さが分っている時に、残りの二辺の長さを求める時に用いられる(三角法[technique in triangulation])。 ***証明 三角形 ABC の外接円の半径を R とおく。ここで、ＢＣ＝ａ、 ∠Ａ＝Ａとする。 - (ケース１) 0 < ∠ A < π/2 CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/ensh6.gif ~線分ＢＤが外接円の直径となるような点Ｄを外接円上にとると[[円周角の定理]]より、 ~∠Ａ＝∠Ｂ ~∠Ａ＝∠Ｄ ~となる。また 線分ＢＤは外接円の直径であることから、 ~ＢＤ＝２Ｒ ~∠ＢＣＤ＝π／２ よって、 ~ｓｉｎ Ｄ＝ａ／２Ｒ ~ここで、∠Ｄ＝∠Ａより、 ~ｓｉｎ Ａ＝ａ／２Ｒ すなわち、ａ／ｓｉｎ Ｄ＝２Ｒ - (ケース２) ∠ A = π/2 のとき CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/en1.gif ~ＢＣ ＝ ａ ＝ 2Ｒなので、 ~ｓｉｎ Ａ＝ａ／２Ｒ は、ｓｉｎ Ａ＝１ となる。 ~以上より、当然に、ａ／ｓｉｎ Ｄ＝２Ｒ - (ケース３) π/2 < ∠ A < π のとき CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/en2.gif ~線分ＢＤ が外接円の直径となるように点Ｄをとる。すると、円に内接する四角形の性質から、 ~∠Ｄ＝π−∠Ａ ⇒ ｓｉｎ Ａ＝ｓｉｎ Ｄ ~また、ＢＤ ＝ 2Ｒ より、 ~ｓｉｎ Ａ＝ａ／2Ｒ ⇒ ａ／ｓｉｎ Ｄ＝２Ｒ
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