[[統計学]] **大数の法則 Law of Large Numbers -経験的確率と理論的確率が一致する ~ある試行を1回行って事象Aが発生する確率 p が数学的に分らなくても、その試行を n 回行い、そのうち事象Aが x 回発生した時、x/n を計算する。 ~この時、 n を無限に大きくしていくと、 x/n が 確率 p に近づいていく。 ~これが大数の法則と呼ばれているもの。 ~つまり、標本 http://www.digistats.net/image/2009/08/math0032.jpg はサンプル数 N を大きくしていくと、その分散が小さくなり、http://www.digistats.net/image/2009/08/math0032.jpg が μ の近くに集中してくるということを意味する。 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0034.jpg ~n 回試行を行って、事象Aの発生するという確率はベルヌーイ分布に従う。 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0035.jpg ~このとき、n を大きくしていくと、ベルヌーイ分布は正規分布になる。 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0036.jpg ~ここで、http://www.digistats.net/image/2009/08/math0037.jpgの従う確率密度を求める。 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0038.jpg ~より、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0039.jpg ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0040.jpg ~ここで、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0041.jpg ~を代入すると、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0042.jpg ~つまり ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0043.jpg ~という正規分布に従う。 ~ここで、n を ∞ に近づけていくと、 ~ CENTER:http://www.digistats.net/image/2009/08/math0044.jpg ~となり分散が0になる。 ~つまり、p 以外の値をとらなくなる。 ***ヤコブ・ベルヌーイによる大数の弱法則&br;WLLN: Weak Law of Large Numbers -十分大きな n まで考えれば、ほとんどの n でおおよそ μ である -Xn が μ から大きく外れるような n の現れる確率は n を無限に大きくすると 0 に近づく ***エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数の強法則&br;SLLN: Strong Law of Large Numbers -n → ∞ とするとき、Xn は μ にほとんど確実に(almost surely, 確率 1 で)収束する