大数の法則のバックアップ(No.2) - digistats

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- 1 (2009-08-25 (火) 10:26:41)
- 2 (2009-08-25 (火) 12:34:12)

大数の法則 Law of Large Numbers

経験的確率と理論的確率が一致する
ある試行を１回行って事象Ａが発生する確率ｐ　が数学的に分らなくても、その試行を n 回行い、そのうち事象Ａが x 回発生した時、x/n を計算する。

この時、 n を無限に大きくしていくと、 x/n が確率 p に近づいていく。

これが大数の法則と呼ばれているもの。

つまり、標本はサンプル数 N を大きくしていくと、その分散が小さくなり、が　μ の近くに集中してくるということを意味する。

n 回試行を行って、事象Ａの発生するという確率はベルヌーイ分布に従う。

このとき、ｎを大きくしていくと、ベルヌーイ分布は正規分布になる。

ここで、の従う確率密度を求める。

より、

ここで、

を代入すると、

つまり

という正規分布に従う。

ここで、n を ∞ に近づけていくと、

となり分散が０になる。

つまり、p 以外の値をとらなくなる。

ヤコブ・ベルヌーイによる大数の弱法則
WLLN: Weak Law of Large Numbers

十分大きな n まで考えれば、ほとんどの n でおおよそ μ である
Xn が μ から大きく外れるような n の現れる確率は n を無限に大きくすると 0 に近づく

エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数の強法則
SLLN: Strong Law of Large Numbers

n → ∞ とするとき、Xn は μ にほとんど確実に（almost surely, 確率 1 で）収束する