[[数理工学>統計学]] **正弦定理 the law of sines -外接円(circumcircle)の半径と、三角形との間に成り立つ定理。 ***定理の内容 CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/ensh6.gif ~ CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/ensh7.gif ~正弦定理(the law of sines)は三角形の2つの角と一辺の長さが分っている時に、残りの二辺の長さを求める時に用いられる(三角法[technique in triangulation])。 ***証明 三角形 ABC の外接円の半径を R とおく。ここで、BC=a、 ∠A=Aとする。 - (ケース1) 0 < ∠ A < π/2 CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/ensh6.gif ~線分BDが外接円の直径となるような点Dを外接円上にとると[[円周角の定理]]より、 ~∠A=∠B ~となる。また 線分BDは外接円の直径であることから、 ~BD=2R ~∠BCD=π/2 よって、 ~sin D=a/2R ~ここで、∠D=∠Aより、 ~sin A=a/2R すなわち、a/sin D=2R - (ケース2) ∠ A = π/2 のとき CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/en1.gif ~BC = a = 2Rなので、 ~sin A=a/2R は、sin A=1 となる。 ~以上より、当然に、a/sin D=2R - (ケース3) π/2 < ∠ A < π のとき CENTER: http://www.digistats.net/image/2009/09/en2.gif ~線分BD が外接円の直径となるように点Dをとる。すると、円に内接する四角形の性質から、 ~∠D=π−∠A ⇒ sin A=sin D ~また、BD = 2R より、 ~sin A=a/2R ⇒ a/sin D=2R