開集合と閉集合 open set and close set

Ａの部分集合Ｕは、任意の a ∈ Ｕ に対して、あるε＞0 が存在し、Ｂ(a,ε)⊂Ｕとなるとき開集合(open set)という。

Ａの部分集合Ｆの補集合が開集合の時、閉集合(close set)という。 Ａの開集合全体の集合族を u とすると以下が成立する。

• (i)\(Ａ,\emptyset \in u\)
  
• (ii)\(Ｕ_{1},Ｕ_{2} \in \cal U \Rightarrow Ｕ_{1} \cap Ｕ_{2} \in \cal U\)
  
• (iii)\(\{Ｕ_{\lambda};\lambda \in \Lambda\}を任意の開集合族とすると、\bigcup_{\lambda \in \Lambda}Ｕ_{\lambda} \in \cal U\)

位相と位相空間 topology and topological space

Ａの部分集合族 \(\cal U\) が上の性質を全て満たす時、\(\cal U\) を Ａ の位相(topology)という。

また、\((Ａ,\cal U)\) を位相空間(topological space)という。

参考

• 可算性