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戦略形ゲーム

プレイヤーの集合、各プレイヤーのとることのできる戦略の集合、利得関数によってゲームを表現する形式を戦略形ゲーム、あるいは、標準形ゲームという。

• 戦略形ゲームの定義
  
  

• 戦略形ゲーム(標準形ゲーム)の基本ルール
  • 有限ゼロ和２人ゲーム finite zero-sum two-person game
    • プレイヤーの数は２．
    • ゲームの結果に関しての２人のプレイヤーの利得の和は常にゼロ。
    • 各プレイヤーのとりうる戦略の数は有限。

利得関数

強支配 strongly dominate

以下の関係が成り立つとき、
戦略 \(\bar{s_{i}} \in S_{i}\) が 戦略 \(s_{i} \in S_{i}\) を強支配するという。

全ての \(t_{j} \in S_{j},j \neq i\) に対して、
\(f_{i}(t_{1},t_{2},...,\bar{s_{i}},...,t_{n}) > f_{i}(t_{1},t_{2},...,s_{i},...,t_{n})\)

弱支配

以下の関係が成り立つとき、
戦略 \(\bar{s_{i}} \in S_{i}\) が 戦略 \(s_{i} \in S_{i}\) を弱支配するという。

全ての \(t_{j} \in S_{j},j \neq i\) に対して、
\(f_{i}(t_{1},t_{2},...,\bar{s_{i}},...,t_{n}) \ge f_{i}(t_{1},t_{2},...,s_{i},...,t_{n})\)
かつ、少なくとも１つの戦略の組
\((\bar{t_{1}},\bar{t_{2}},...,\bar{t_{i-1}},\bar{t_{i+1}},...,\bar{t_{n}})\) に対して、
\(f_{i}(\bar{t_{1}},\bar{t_{2}},...,\bar{s_{i}},...,\bar{t_{n}}) > f_{i}(\bar{t_{1}},\bar{t_{2}},...,s_{i},...,\bar{t_{n}})\)

支配戦略均衡

全てのプレイヤーに支配戦略が存在するとき、その支配戦略の組み合わせを支配戦略均衡という。

支配戦略均衡はゲームの解の一つである。

最適反応戦略 best response strategy

他のプレイヤーの戦略に対して、自らの利得を最大にする戦略を最適反応戦略という。

パレート最適 Pareto optimum

利得ベクトル x が実現可能集合内の点であって、その実現可能集合内において、利得ベクトル x の１つの成分を減少させることなしには、他の成分を増加させることの出来ないようなとき、利得ベクトルはパレート最適(Pareto optimum)であるという。