行列の和の性質

Ａ、Ｂ、Ｃをｍ×ｎ行列とし、ｋ、ｌを実数とする時、以下の性質が成り立つ。

1. 行列の和
   1. 結合法則
      （Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）
   2. 交換法則
      Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
   3. Ａ＋Ｏ＝Ｏ＋Ａ＝Ａ
   4. Ａ＋（−Ａ）＝（−Ａ）＋Ａ＝Ｏ
2. 行列のスカラー倍
   1. １・Ａ＝Ａ
   2. ｋ（Ａ＋Ｂ）＝ｋＡ＋ｋＢ
   3. （ｋ＋ｌ）Ａ＝ｋＡ＋ｌＡ
   4. （ｋｌ）Ａ＝ｋ（ｌＡ）

行列の積の性質

1. 結合法則
   （ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）
2. 分配法則
   Ａ（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ
3. （Ａ＋Ｂ）Ｃ＝ＡＣ＋ＢＣ
4. ＡＢ≠ＢＡ
   交換法則が成り立たない。
5. ＡＥ＝ＥＡ＝Ａ
   Ｅを単位行列とする。 \[Ｅ = \pmatrix{1 & 0 & \ldots & 0\cr 0 & 1 & \ldots & 0\cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\cr 0 & 0 & \ldots & 1}\]

1. ＡＯ＝ＯＡ＝Ｏ
2. Ｘ≠Ｏ　かつ　Ｙ≠Ｏ　であっても　ＸＹ＝Ｏ　となりうる。

転置行列の性質

\[Ａ = \pmatrix{a_{11} & a_{12} & a_{13}\cr a_{21} & a_{22} & a_{23}\cr a_{31} & a_{32} & a_{33}}\] \[Ａ^{t} = \pmatrix{a_{11} & a_{21} & a_{31}\cr a_{12} & a_{22} & a_{32}\cr a_{13} & a_{23} & a_{33}}\]

転置行列の公式

\[^{t}(^{t}Ａ)＝Ａ\] \[^{t}(Ａ＋Ｂ)＝^{t}Ａ＋^{t}Ｂ \] \[^{t}(ｋＡ)＝ｋ^{t}Ａ \] \[^{t}(Ａ＋Ｂ)＝^{t}Ｂ^{t}Ａ \]