距離 metric

一般の集合Ａに関して、直積空間Ａ×Ａ上で定義され、非負の実数の値をとる関数 d が以下の性質を満たすとき、 d を Ａ 上の距離という。 \[d(x,y)＝0 \Leftrightarrow x=y\] \[d(x,y)＝d(y,x)\] \[d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)\] Ａ上に距離 d が与えられているとき、(Ａ,d) を距離空間(metric space)という。

この距離空間という概念は ユークリッド(Euclid)空間の性質のうち、特に距離の性質を抽象化したもの。

直積 product

複数の集合の各々から要素を取り出すとき、取り出された要素で組を作り、その組自体を要素とした新たな集合のこと。 ＡとＢの直積集合は以下のように表される。 \[Ａ \times Ｂ＝\{(x,y)|x \in Ａ,y \in Ｂ\}\] Ａ＝｛0、1、2｝、Ｂ＝｛a, b, c, d｝とすると、

Ａ×Ｂ＝｛（0, a）, （0, b）, （0, c）, （0, d）,
　　　　 　（1, a）, （1, b）, （1, c）, （1, d）,
　　　　 　（2, a）, （2, b）, （2, c）, （2, d）｝

ちなみに、(x,y) は順序対といい、x と y の順序を考えた組となっているので、Ａ×Ｂ と Ｂ×Ａは異なったものになる。

直積空間距離 product metric space

２つの集合 Ｘ1、Ｘ2 上に各々距離 d1、d2が入っているとすると、直積集合 \[Ｘ＝Ｘ_{1} \times Ｘ_{2}\] 上にも距離を定義することが出来る。これを直積空間距離(product metric space)という。

同値な距離 equivalent

\[a,b \in \mathbf{R}\] に対して、 \[a \land b ＝ min\{a,b\}\] とする。このとき、Ａ上の２つの距離 d と ρ が、ある正の定数Ｃ1、Ｃ2に対して、 \[C_{1}\{\rho (x,y) \land 1\} \le d(x,y) \land 1 \le C_{2}\{\rho (x,y) \land 1\}\] を常に満たすとき、距離 d と ρ は同値(equivalent)であるという。