可算性 countability

ユークリッド空間(ユークリッド幾何学を適用できる空間)が満たしている２つの条件のことを『可算公理』という。

すなわち、ユークリッド空間は２つの条件(可算公理)のうち１つを満たしている。

第１可算公理 first countability axiom

位相空間 \((Ｘ,\cal U)\) について、任意の a∈ Ｘ に対して a を含むある可算個の開集合族 \(\{Ｕ_{n};n＝1,2,・・・\}\) を適当に選ぶと、a を含む任意の開集合 Ｕ がある\(Ｕ_{n}\) を含むとき、位相空間 \((Ｘ,\cal U)\) は第１可算公理(first countability axiom)を満たすという。

つまり、第１可算公理とは、位相空間の任意の点は可算値の局所基をもつことを意味する。

定義域が第１可算公理を満たすならば「点列連続⇔連続」となる。

第２可算公理 second countability axiom

可算個の \(\cal U\) の部分集合 \(\cal U_{0}\) が存在し、任意の \(Ｕ \in \cal U\) が \(\cal U_{0}\) の元の和集合として 位相空間 \((Ｘ,\cal U)\) が表されるとき、この位相空間 \((Ｘ,\cal U)\) は第２可算公理(second countability axiom)を満たすという。

つまり、第２可算公理とは、位相空間が可算値の基をもつことを意味する。

位相空間が第２可算公理を満たすならば、その位相空間は第１可算公理も満たす。

内点 interior point

\(Ａ \subset Ｘ\) のとき、\(a \in Ａ\) を含む開集合 Ｕ で\(Ｕ \in Ａ\) を満たすならば、 a は Ａ の内点(interior point)といい、Ａの内点全体の集合をＡの内点集合 Å と表現する。

閉包 closure

\(Ａ \subset Ｘ\) のとき、\(a \in Ａ\) を含む開集合 Ｕ で\(Ｕ \in Ａ\) を満たすときＡを含む最小の閉集合をＡの閉包(closure)という。
Ａの閉包(closure)は \(\bar{A}\) と表す。

境界 boundary

Å − \(\bar{A}\) を Ａ の境界(boundary)という。

参考

• 閉集合