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論理と計算

『集合(set theory)と関数のことばがあればどんな数学理論も記述することができ、逆にそれなしではなにも語れない。』

古典論理 classical logic

アリストテレス以来の流れに沿う論理のこと。

  • 命題論理 propositional logic
    • 命題:真か偽のどちらか一方の値をとる言明のこと。
    • 命題論理:命題に対する正しい推論形式のこと。
  • 述語論理 predicate logic
    • 命題の内部構造も考察の対象とするように命題論理を拡張したもの。

非古典論理 non classical logic

  • 直観主義論理(intuitionistic logic):Aとその否定¬Aのいずれかが必ず成立という排中律を否定するブラウワーの直観主義数学の流れを汲む論理。
  • 様相論理(modal logic):古典論理に「可能性」や「必然性」などの要素を加えたもの。
  • 多値論理(multiple-value logic):ファジー論理などのように命題変数や述語に対して「真」と「偽」以外の真理値を許す論理。
  • 線形論理(Linear logic):「同時的計算と継起的計算の区別」および「資源の消費概念」を導入した論理。
    シーケント計算から、縮約、弱化、交換という構造規則の適用を制限もしくは明示化することで得られる論理。

集合と論理

論理結合子 logical connective

論理結合子使い方意味
連言∧P∧QPかつQ
選言∨P∨QPまたはQ
否定¬¬PPでない
含意⇒P⇒QPならばQ
同値⇔P⇔QPはQと同値である

量化子 quantifier

量化子使い方意味
全称量化子∀x P(x, ...)すべての x に対して P(x,...) である
特称量化子∃x P(x, ...)ある x に対して P(x,...) である

真理表(truth table)

A¬ A
ABA ∧ B
真(T)真(T)真(T)
真(T)偽(F)偽(F)
偽(F)真(T)偽(F)
偽(F)偽(F)偽(F)


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Last-modified: 2010-12-22 (水) 23:01:26 (2797d)