数理科学

解析学 Analysis †

解析学には、微分方程式論、積分論、関数空間論、複素関数論、超関数論、特殊関数論、作用素環論、調和解析学、実関数論などが含まれる。

連続性 continuity †

数列の収束 limit of a sequence †

数列 \(\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\} \)において、ある数 \(\alpha\) が存在し、以下の性質を満たすとき、整列 \(\{x_{n}\}(n=1,2,...)\) は \(\alpha\) に収束するという。 \[n > N \Rightarrow |x_{n} - \alpha| < \epsilon \] 数列 \(\{x_{n}\}(n=1,2,...)\) は \(\alpha\) に収束するとき、 \[\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha\] と表し、数列 \(\{x_{n}\}\) の極限値は \(\alpha\) であるという。

閉空間、開空間、半開区間 close,open,semi-open interval †

• 閉空間
  実数 a,b に対して、\(a \le x \le b\) を満たす実数 x の集合を [a,b] と表し閉空間という。
  \([a,b] = \{x|a \le x \le b\}\)
• 開区間
  \( (a,b) = \{x|a < x < b\} \)
• 半開区間
  \([a,b) = \{x|a \le x < b\}\)
  \((a,b] = \{x|a < x \le b\} \)

微分 differential calculus †

挟み撃ちの原理 †

• \(a_{n} \le b_{n} \le c_{n} \) 、\( n \rightarrow \infty \) のとき、\(a_{n}\) と \(c_{n}\) が同じ極限値 \(\alpha\) に収束ならば、\(b_{n}\) も \(\alpha\) に収束する。
• \( f(x) \le g(x) \le h(x) \)、\( x \rightarrow a \) のとき、\( f(x) \)、\( g(x) \)が同じ値 b に収束するならば、\( g(x) \)も同じ b に収束する。

関数の微分 †

\( y = f(x) \)が\( x = x_{0} \)において微分可能であるとは、 \[\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = \alpha \] が存在すること。

この極限値\( \alpha \)は微分係数\( f'(x_{0}) \)という。

積の微分法 †

\[(xy)' = x'y + xy' \]

商の微分法 †

\( v \ne 0 \) のとき、 \[(\frac{1}{y})' = - \frac{y'}{y^{2}}\] \[(\frac{x}{y})' = - \frac{x'y - xy'}{y^{2}}\]

合成関数の微分法 †

t の関数 \( y = f(t) \)に\( t = g(x) \)を代入した合成関数 \(y = f(g(x))\) について、 \[\frac{d}{dx}\{f(g(x))\} = f'(g(x)) \cdot g'(x)\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}\]