非協力ゲーム（戦略形）
ゲームの基本モデル
- 戦略形ゲーム：プレイヤーの戦略と利得を表現したゲーム。
- 展開形ゲーム：プレイヤー毎の手番を交互に行うゲームの表現形式。
ゲームの戦略
- N：プレイヤーの集合
- 戦略の集合
- 戦略の組における利得関数
純粋戦略
与えられた状況で取り得る選択肢の中から、ある1つの選択肢を確定的に選ぶ戦略。
混合戦略
与えられた状況で取り得る選択肢の中から、ある1つの選択肢をある確率分布に従って選択する戦略。
パレート最適性
パレート効率性とは、ある選択をした際に誰か他のプレイヤーの効用／利得を犠牲にしなければ、特定のプレイヤーの効用／利得をこれ以上高めることのできない状態のこと。
効率性の概念であり、公平性に関する概念ではない。
ゲームの解
支配戦略均衡
相手がどんな戦略をとろうとも自分のある戦略が、もっとも高い利得を得るような戦略を支配戦略という。ナッシュ均衡
他のプレーヤーの戦略を前提とした場合に、自分が最適な戦略をとっている状態のこと。
ゲームの標準形にNash均衡があることはNash(1951)がBrouwerの不動点定理を用いて証明している。
最適反応原理
相手がある戦略をとったときに、その戦略のもとで自分の利得を最大化するように行動するという行動原理のこと。- 最小作用の原理
- ある作用量が最小の経路を必然的に行動するとする行動原理のこと。
- 自然界の現象はすべて「エネルギーを最小にする」とういうことを意味する。
- この原理がオイラーの「変分法」、ファインマンの「経路積分」を経て、ポントリヤーギンの「最適化理論」へと発展していくことになる。
- 逐次改良理論(melioration theory)
- 最適化理論(optimization theory)
- 瞬時最大化理論(momentary maximization theory)
ナッシュ均衡点の性質
- 戦略の交換性と最適性の不成立。
- 複数均衡点の存在の可能性。