シャープレイ値

定義 (シャープレイ値 Shapley value)
を譲渡可能な効用を持つ提携形ゲームとする．
シャープレイ値は、を提携のメンバーの数とし、 $v(\phi)=0$ としたとき、次の式で定義される.

$\begin{displaymath} \phi_i(v) = \sum_{S:i \in S \subset N}\frac{(s-1)!(n-s)!}{n!}\{v(S)-v(S-\{i\})\} \end{displaymath}$

(8.1)

$\displaystyle \phi_1(v)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{(1-1)!(3-1)!}{3!}\times (v(1)-v(\phi))$	(8.2)
	$\textstyle +$	$\displaystyle \frac{(2-1)!(3-2)!}{3!}\times (v(12)-v(2))$	(8.3)
	$\textstyle +$	$\displaystyle \frac{(2-1)!(3-2)!}{3!}\times (v(13)-v(3))$	(8.4)
	$\textstyle +$	$\displaystyle \frac{(3-1)!(3-3)!}{3!}\times (v(123)-v(23))$	(8.5)
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{(1-1)!(3-1)!}{3!}\times (0-0)$	(8.6)
	$\textstyle +$	$\displaystyle \frac{(2-1)!(3-2)!}{3!}\times (60-0)$	(8.7)
	$\textstyle +$	$\displaystyle \frac{(2-1)!(3-2)!}{3!}\times (70-0)$	(8.8)
	$\textstyle +$	$\displaystyle \frac{(3-1)!(3-3)!}{3!}\times (102-0)$	(8.9)